拍賣篇：全支付拍賣的均衡點探討 All-Pay Auction Equilibrium
上一篇講了最高價拍賣的均衡點，這一篇要講的是全支付拍賣的均衡點。這邊我們要用的思考計算模型和上一篇的一樣，大家的心裡對拍賣品的估值（真值）是從均勻分布取出來的：
$v_i \sim U[0, 1]$。$v_i$ 是競標者 $i$ 的真值，U 是 uniform distribution。
全支付拍賣的特點是：只要你有出價，無論有沒有贏得拍賣品，你都要付你出價的金額。所以競標者的期望值為：
$g(v_i) = v_i^{n-1}(v_i-s(v_i))+(1-v_i^{n-1})(-s(v_i))$
前面那一項是你贏得拍賣品時的獲益，後面那一項則是你沒贏得時的獲益。
和前一篇一樣的思考方式，我們要的值是真值時的期望值 $\ge$ 假值的期望值，也就是：
$v_i^{n-1}(v_i-s(v_i))+(1-v_i^{n-1})(-s(v_i)) \ge v^{n-1}(v_i-s(v))+(1-v^{n-1})(-s(v))$
$\Rightarrow v_i^n - s(v_i) \ge v^{n-1}v_i - s(v)$
刪掉兩邊共同項後，把大於等於右邊那一項重寫成期望值的函值：
$h(v) = v^{n-1}v_i-s(v)$
微分取極值：
$h^\prime(v)=(n-1)v^{n-2}v_i-s^\prime(v)=0$
$s^\prime(v) = (n-1)v^{n-2}v_i$
當 $v = v_i$ 時有最大期望值：
$s^\prime(v_i)=(n-1)v_i^{n-1}$
$\Rightarrow s(v_i)= (\frac{n-1}{n})v_i^n$
結論
競標的人越多，$v_i^n$ 這一項基本上會越小，也就是說：參加的人越多，你的出價會越小，滿符合一般人的直覺。畢竟人越多你越不容易贏，所以你就比較不敢出較高的價，因為你無論輸贏在全支付拍賣裡都有付你出價的錢。
這兩期介紹了最高價拍賣和全支付拍賣的均衡點，是用「買家」的角度來看，下篇我們將用「賣家」的角度來看，談談賣家在不同形式的拍賣的收益。