[Game Theory and Strategy 23]

市場與網路篇：兩個人要怎麼一起分利益？ - 合作賽局 Cooperative Game

Chinese 賽局與策略

written by LiaoWC on 2021-07-08

你有沒遇過大家一起得到好處卻不知道怎麼分的狀況？本篇要探討的是兩個人要怎麼分利益的問題。這一篇跟之前的滿不一樣的，這篇討論的是「合作賽局」，之前討論的多半是「非合作賽局」。

假設有兩個人 A 和 B，他們有一個合作機會，可以一起得到 1 的獲利，但是要合作的話，各自要放棄原本自己賺錢的機會。A 不合作的話可以自己賺 x；B 則是 y。如果他們想要合作的話，一起得到的 1 要怎麼分呢？

我們假設 A B 之間的談判是 A 和 B 輪流提出分錢的方式。如果被對方拒絕，就繼續下一輪的談判，所以如果每輪一直談不攏，談判會無止盡的一直下去。

A B 分錢時各自必需分到至少外部機會的價值，才會選擇合作。

由於談判可以無限次一直下去，沒辨法用動態賽局的方式倒推歸納出結果。

假設每一輪談判失敗的機率是 $p$ 。

第一輪由 A 提出分錢方式，提出的分法是 $(a_1,b_1)$ 。

第二輪 B 提出的分錢方式為 $(a_2,b_2)$ 。

B 在第一輪拒絕合作的期望值是： $py+(1-p)b_2$ ，也就是下一輪的期望值）。所以 A 要提出：

$b_1 = 1 - a_1 = py+(1-p)b_2$ 才會讓 B 感到有沒有合作都沒差（式子一）。

而 A 在 B 提分法的回合拒絕合作的期望值同理是： $px+(1-p)a_1$ ，所以 B 要提出：

$a_2 = 1-b_2 = px+(1-p)a_1$ 。（式子二）

綜合以上兩個式子可以算出：

$a_1 = \frac{(1-p)x +1-y}{2-p}$

$b_2 = \frac{(1-p)y +1-x}{2-p}$

$\Rightarrow b_1 = 1 - a_1 = \frac{(1-x)(1-p)+y}{2-p}$

當 p 趨近 0 的時候：

$a_1 = \frac{x +1-y}{2} = x + \frac{1-x-y}{2}$

$b_1 = \frac{(1-x)+y}{2} = y + \frac{1-x-y}{2}$

$\frac{1-x-y}{2}$ 的意思就是把一起的收益減掉各別原本就能賺的再平分。也就是說，分錢時，雙方先拿自己原本放棄的機會價值的數額（類似扣除成本），剩下的再對半分。

很有趣的是，在法律上離婚是不是會把婚後財產對半分？這個分法和這邊滿像的。

另外，從我們的推導來看，在和別人分利益時，如果你能讓對方覺得你為了合作放棄了其它"多大"利益，這樣你能分到比較多。

對談判有興趣的人可以去查詢納許談判解（Nash Equilibrium Solution）相關資料。