[Game Theory and Strategy 16]
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賽局與策略
拍賣篇：最高價拍賣的均衡點探討 First-Price Auction Equilibrium
上一篇我們講到最高價拍賣沒有支配性策略，那有納許均衡點嗎？本篇將針對這個主題進行討論。
變數設定：
- $s$ 為出價策略的函數。例如 $s(v)$ 表示當你心裡覺得商品值 $v$ 時，你會出的價是 $s(v)$。我們這邊討論大家都用一樣出價策略的狀況。
- $v_i$ 為競標者 $i$ 的心裡對拍賣品的真實估值。每個競標者的這個值是從 0 到 1 的連續型均勻分布，也就是 $v_i\sim U[0, 1]$。
- 競標者人數是公開資訊，總共 $n$ 個競標者。
出價策略 $s$ 需要符合以下條件：
- $s$ 是一個嚴格遞增函數（所以覺得拍賣品價值越高會出越高）
- $s$ 可以微分
- $s(v) ≤ v$ ，也就是不會出比自己覺得的價值還要高的價。
對於一個競標者 $i$ 而言，他的期望值是：
$g(v_i)=v_i^{n-1}(v_i-s(v_i))$
- 由於 $v_i$ 是從均勻分布取的，再加上出價策略的函數是嚴格遞增函數，所以這個 $v_i$ 同時也是「勝率」。由於共有 $n$ 人，你要贏得拍賣品，就要贏過 $n-1$ 個人，所以是 $v_i^{n-1}$。
- $v_i - s(v_i) = v_i - b$：對商品的估值減掉出價就是贏得拍賣品時的收益。
由於我們想找的是符合我們真值的好策略，所以要符合：
$v_i^{n-1}(v_i-s(v_i)) \ge v^{n-1}(v_i-s(v))$
$v$ 為 0~1 之間的值
也就是 $g(v) =v^{n−1}(v_i − s(v))$ 當 $v = v_i$ 時，期望值會最大。
g(v) 對 v 微分使其等於零找極值：
$g^\prime (v) = (n-1)v^{n-2}(v_i-s(v)) + v^{n-1}(-s^\prime(v)) = 0$
$\Rightarrow s^\prime(v) = (n-1)(\frac{v_i-s(v)}{v})$
代入 $v = v_i$
則 $s^\prime(v) = (n-1)(1-\frac{s(v_i)}{v_i})$
上面這個式子的解剛好是（你可以代代看）：
$s(v_i)=(\frac{n-1}{n})v_i$
結論
從前一個式子來看，當所有競標者都使用$(n-1)/n$乘以自己的真值這個出價策略時，這是一組均衡點。$(n-1)/n$ 這個數表示：n 越大，越靠近 1，所以如果競標者越多，競標者要出越接近自己真值的出價。
本篇講述的是最高價拍賣的均衡點，下一篇將會介紹全支付拍賣的均衡點。