投票篇：陪審團成員一定要依觀察到的資訊投票嗎？
在使用陪審團的司法制度中，陪審團能判斷被告有罪或無罪。有些制度規定為一致決，有些則是多數決。想像你是陪審團的其中一員，接下來我們將討論假如你得到有罪/無罪的信號，對你判斷會有什麼影響。這裡「信號」的意思是你從案件梳理出讓你覺得似乎被告是有罪/無罪的資訊，但你得到這樣的信號不代表被告就一定有罪/無罪，也有可能有的人得到有罪的信號，有的人得到無罪的信號。
觀察到的資訊跟有沒有罪的關係
假設
- $P(觀察到有罪的信號|有罪) = q$。P 是機率的意思。
- $P(觀察到無罪的信號|無罪) = q$
- $q > \frac{1}{2}$
- 所有人同時投票
- 所有人都誠實地根據自己觀察到的信號投票
- 一個被告者有罪的機率為 $r$
根據貝氏定理，
$P(觀察到有罪的信號) = P(有罪)P(觀察到有罪的信號|有罪)+P(無罪)P(觀宗到有罪的信號|無罪) = r\times q+r\times (1-q)=r$
$P(有罪|觀察到有罪的信號) = P(有罪)\times P(觀察到有罪的信號|有罪) \div P(觀察到有罪的信號) = r \times q \div r = q$
前面的假設有說 q 大於二分之一，換言之，如果一個被告者被觀察到有罪的信號，他有罪的機率大於二分之一，因此收到這個有罪信號的陪審團人員會傾向於投下「有罪」。
從這邊我們可以發現一個人得到的信號會影響他的決策，前提是如果真的有罪的話，觀察到有罪的信號的機率要過半（q > 1/2）
如果 q > 1/2，那麼陪審團的人數越多，決策會越準確，有點群眾智慧的感覺。這是孔多塞陪審團定理（Condorcet Jury Theorem）所描述的內容。
在一致決的陪審團審判裡，是否一定要誠實的投票？
這裡的「誠實」指的是用按照你得到的信號投票，如果 q > 1/2，得到有罪信號的人就會投有罪；得無罪信號的人會投無罪。我們考慮以下狀況：
假設你是唯一得到無罪信號的人，其他陪審團成員得到的都是有罪的信號
由於我們討論的是「一致決」的制度，要定罪需要全部一致投有罪，只要有人投無罪，被告就會無罪。一樣我們用貝氏定理來推算：
假設陪審員裡共有 $k$ 人。
$P(只有你觀察到無罪的信號) = P(有罪)P(只有你觀察到無罪的信號)+P(無罪)P(只有你觀察到無罪的信號) = r\times q^{k-1}(1-q)+r\times (1-q)^{k-1}q =r( q^{k-1}(1-q)+(1-q)^{k-1}q)$
$P(有罪|只有你觀察到無罪的信號) = P(有罪)\times P(只有你觀察到無罪的信號|有罪) \div P(只有你觀察到無罪的信號) = r \times q^{k-1}(1-q) \div r( q^{k-1}(1-q)+(1-q)^{k-1}q) = q^{k-1}(1-q) \div (q^{k-1}(1-q)+(1-q)^{k-1}q) =\frac{q^{k-1}(1-q) }{ (q^{k-1}(1-q)+(1-q)^{k-1}q)}$
當陪審團人數 k 趨進無限大：
$\lim_{x\to\infty}\frac{q^{k-1}(1-q)}{ (q^{k-1}(1-q)+(1-q)^{k-1}q)} = 1$
也就是說你那一票並不重要。
結論
當陪審團人數夠多時，只要你相信你以外所有人都會誠實地按照各自得到的信號投票，你應該忽略自己得到的信號，並且直接投有罪。
從這些簡單的數學推導中，可以得到許多有趣的道理，這正是這些知識吸引人的地方！