[Game Theory and Strategy 29]
Chinese
賽局與策略
投票篇：一定要誠實地投嗎？
本篇要討論的是有「共同目標」的投票活動。標題「誠實地」的意思指的是依照自己得到的線索、資訊進從投票；「不誠實」指的是不用你手上的資訊投票，而是採取別的策略。
抽球遊戲
你們共有三個人一起參加一個抽球遊戲。這是一個完成目標有獎勵的遊戲。目標是猜出他們抽的箱子是哪個箱子。箱子共有兩個，我們稱為 A 和 B：
- A 箱子包含 10 顆白球。
- B 箱子包含 9 顆綠球 + 1 顆白球。
遊戲規則是：主辨方會用各 50% 的機率隨機挑出 A 和 B 其中一個箱子，選出三個人各自抽一顆球放回，彼此不知道抽到什麼球，三個人不能溝通。他們要一起喊出他們各自覺得是哪個箱子，再根據他們的回答，用多數決得出他們猜的結果。如果猜對了就有獎金。重點是每個人唯一得到的資訊就是抽到的球。
從條件機率來分析，只要抽到「白球」，箱子是 A 的機率最大，所以一般人會投 A 一票；如果抽到「綠球」，箱子一定是 B，所以會投給 B 一票。
如果你相信其他兩人必定會誠實地投票？
如果你是這三個人其中一個，你相信其他兩人一定會抽到白球就投 A，投到綠球就投 B，那你有什麼投票的好策略呢？一樣投法？還是有別的方法？
這裡直接破梗：你應該要直接投 B 箱子，也就是你不誠實地投票效果會比較好。為什麼？我們分別討論：
- 如果答案其實是 A 箱子：其他兩人都一定會抽到白球，他們都會投 A，A 得到兩票過半，一定會答對，你投什麼不重要。
如果答案其實是 B 箱子：你們三個人要至少有兩人投綠球的票才會猜對。三個人都抽到白球就沒救了，但機率是最低的。
- 你不誠實地投票出錯的機率為：你以外兩個人皆抽到白球 $= 0.1 \times 0.1 = 1\%$
- 你誠實地投（三個人都誠實地都誠實地投）出錯機率為：三個抽到白球 + 兩人抽到白球 $= 0.1\times 0.1\times 0.1+C^3_2\times0.1\times0.1\times0.9 = 2.8\%$
可以看出你不管三七二十一，只要你相信其他兩人都照抽的球投票，你直接投 B 猜對機率比較高。所以在這種有共同目標的投票裡，誠實投票不一定會比較好。