[Game Theory and Strategy 18]
Chinese
賽局與策略
拍賣篇：拍賣裡的賣家收益 Seller's Revenue
這篇和前兩篇一樣，我們的讓所有競標者對拍賣品的估值都從 uniform distribution 取。也就是：$v_i \sim U[0,1]$。$v_i$ 是競標者 $i$ 的心裡估值。
由於估值都是從 $U[0,1]$ 取的，如果有 n 個競標者，那估值從低到高第 k 個人的估值的期望值是 $\frac{k}{n+1}$。舉例來說，如果有 3 個競標值，那麼：
- 最低估值那人的估值期望值為：$\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}$
- 第二低估值那人的估值期望值為：$\frac{2}{3+1}=\frac{2}{4}$
- 最高估值那人的估值期望值為：$\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
次高價拍賣裡的賣家收益 Seller's Revenue in Second-Price Auction
在次高價拍賣裡，出最高價的人付的錢是第二高價的數額。所以賣家會收到第二高的錢，$k = n-1$，也就是：
$\frac{n-1}{n+1}$
最高價拍賣裡的賣家收益 Seller's Revenue in First-Price Auction
前前一篇提過最高價拍賣的均衡點：出 $\frac{n-1}{n}$ 乘以心裡估值。
出最高價者的估值的期望值是 $\frac{n}{n+1}$，
所以得標者會付的錢（賣家會收到的錢）是：$\frac{n-1}{n+1}$
全支付拍賣裡的賣家收益 Seller's Revenue in All-Pay Auction
前一篇提到全支付拍賣裡的均勻出價策略是：$(\frac{n-1}{n})v^n$
一個競標者出價的期望值是：
$(\int_0^1(\frac{n-1}{n}v^n)dv)/(1-0) = (\frac{n-1}{n})(\frac{1}{n+1})$
所以所有 n 個競價者出價總和的期望值為：
$n \times (\frac{n-1}{n})(\frac{1}{n+1}) = \frac{n-1}{n+1}$
結論
- 在以上三種形式拍賣裡的賣家收益全部一樣！我們以前有講過次高價拍賣有支配性策略，競標者不用花那麼多腦力、心血研究怎麼出價，那既然次高價和其它形式的賣家收益一樣，那為啥賣家不都採用次高價拍賣，賺一樣多的錢，也不用讓競標者這麼心力交瘁？
- $\frac{n-1}{n+1}$ 另一個涵意是：$n$ 越大整個數越大，也就是人多賣家收益會比較高。所以你會看到許多拍賣會會舉辦得很熱鬧、很多人。